jueves, 17 de enero de 2013

RELACIONES

RELACIONES

Relación Matemática 2
    • Conjunto
    • Producto cartesiano

Tipos de Relación Matemática 2
    • Propiedades de las relaciones 3
    • Clasificación/tipos de las relaciones 3
    • Relaciones que son funciones 5
    • Diferencia entre función y relación 5

Dominio y Codominio 5
    • Variables dependientes
    • Variables independientes
    • Variables constantes

Funciones 6
    • Tipos de funciones
    • Clasificación de las funciones

Funciones Lineales 9
    • Ordenada al origen
    • Pendiente
    • Representación geométrica de una pendiente 10

Bibliografía 11

RELACIÓN MATEMÁTICA

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.
(Una relación entre 2 conjuntos, es un conjunto de pares ordenados formados por un elemento del primer conjunto, llamado salida y un elemento del segundo conjunto, llamado llegada.)
Conjunto:
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
Producto cartesiano:
El producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:

Definición matemática de Relación y de Función

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamadoRecorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones sonfunciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}
                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(xy) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(xy) / y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (xy) que satisfagan la relación
                                     R =  {(xy) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
                                      C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6),  (–3, 2), (–3, 3),  (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
                                     R =  {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión  x + y = 3  es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relación

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3 
Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “ es el doble de x” o  “= 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B =  {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
                                                 R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
                                              D = {2, 3, 4}
                                              Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y  R la relación definida por la regla      
R = {(xy) / = 2+ 1}, graficar  R.

Solución
Los pares ordenados que pertenecen  a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
                                        R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:
relaciones001relaciones002


A CONTINUACION TE PRESENTAMOS EL SIGUIENTE VIDEO DE LAS RELACIONES MATEMATICAS

RANGO DE UNA FUNCION


RANGO DE UNA FUNCION




El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Por ejemplo:
Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:
Gráfica de la función cuadrática
Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:
mayor o igual
Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.
 A CONTINUACION TE PRESENTAMOS EL SIGUIENTE VIDEO SOBRE EL RANGO DE UNA FUNCION

DOMINIO DE UNA FUNCION

Dominio

  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.
  Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.
  Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.

1.Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.

dominio gráficamente
 Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Ésto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica; y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.
  En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas).
 En este caso tenemos que Dom f = (-infinito, 2) U (2, 7]
 De una manera vulgar, podríamos decir que si aplastámos la gráfica sobre el eje Ox y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.

2.Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas.

  Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:
FUNCIONES POLINÓMICAS:
  Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3x5- 8x + 1;   D(f) = R

g(x)= 2x + 3;   D(g) = R

h(x)=½ ;   D(h) = R

FUNCIONES RACIONALES:
  Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn. Por ejemplo:
I)expresion algebraicaResolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3  y   x2 = -3.
         Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

II)expresión algebraica  Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.
  
        Por lo tanto D(f) = R.
FUNCIONES IRRACIONALES:
  Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:
I)expresión función irracional    Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;            resolución gráfica inecuación
                                x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, +infinito).
                                 
            Por lo tanto D(f) = [-1, +infinito).

II)expresión función irracionalResolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. resolución gráfica inecuación
                                                                                Por lo tanto D(g) = (-infinito, -5] U [+5, +infinito)

III)expresión de función irracionalResolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.
¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.
R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio:
                                                            D(h) = (-infinito, -2) U (+4, +infinito)     (observad los extremos excluidos).

A CONTINUACION TE PRESENTAMOS EL SIGUIENTE VIDEO DEL DOMINIO DE UNA FUNCION

FUNCIONES


FUNCIONES
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.
            
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar  si los  elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.


Donde se dice que f : A  ® B  (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)


Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.


El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen,este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLES DEPENDIENTES.
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= xy o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
VARIABLE INDEPENDIENTE.
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
VARIABLE CONSTANTE.
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:
Y=2, la constante gravitacional, entre otras.


Ejemplos de funciones  y de ecuaciones :
La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m = 1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento del dominio que relaciones dos elementos del codominio. El dominio es (-¥¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo,  ya que toma todos los valores en el eje de las Y´s (-¥¥).

 La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la siguiente:

Y(x)= x   (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x)Gráfica
                         
Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna restricción al respecto.

Podemos analizar que en este caso el domino es (-¥¥). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea f(x)=x2  conduce a que solo el recorrido de la función mande a valores positivos, y por tanto el rango de la función es [0, ¥)
                       

La siguiente ecuación no es función y2 = x  
Su gráfico es el siguiente:
                              

Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen asociados dos elementos del codominio y por tanto no es función.

A CONTINUACION TE PRESENTAMOS UN VIDEO SOBRE FUNCIONES